Développement des mathématiques

Développement des mathématiques

Développement des mathématiques

Texte théorique / 2-5 ans, 5-12 ans / Apprentissage scolaire, Numératie, Addition, Multiplication, Nombre, Numération positionnel, Résolution de problème, Soustraction, Fonctions exécutives, Inhibition, Flexibilité cognitive, Mémoire de travail, Planification, Métacognition, Développement cognitif

Ce texte vise à expliquer et à situer certains des comportements adoptés et des raisonnements utilisés par des enfants lorsqu’ils résolvent des problèmes de mathématiques. Il se limite aux thèmes illustrés par les vidéos présentées sur ce site, et ne constitue donc pas un résumé complet du développement des mathématiques.

Seront décrits en premier lieu le développement de la compréhension des nombres, puis les stratégies employées pour effectuer des opérations arithmétiques simples. Ensuite seront expliqués certains aspects de la résolution de problèmes. Enfin, le rôle des fonctions exécutives dans la résolution de problèmes de mathématiques sera abordé.

Compréhension des nombres

Des recherches montrent que les bébés possèdent deux systèmes d’évaluation des quantités, et ce, bien avant l’utilisation de symboles pour représenter les nombres (Fayol, 2018). Un premier système permet de différencier deux ensembles comprenant des nombres différents d’éléments (Siegler, 2010; Fayol, 2018), ce qui correspond au principe de cardinalité (lequel sera défini un peu plus loin). Cependant, cette capacité ne s’exprime que pour des ensembles de quatre éléments ou moins. On parle alors du principe de subitising (Siegler, 2010; Fayol, 2018). Le deuxième système permet aux bébés de distinguer deux quantités différentes, mais seulement si la différence entre ces deux quantités est très grande. On parle alors de quantification approximative (Fayol, 2018; Gimbert, 2016).

Les rapports entre ces deux systèmes précoces et la compréhension ultérieure des nombres est complexe. Bien qu’il soit possible qu’ils contribuent à cette compréhension, il s’agit tout de même de processus différents du comptage et du dénombrement d’éléments qui se produiront avec des enfants plus âgés (Fayol, 2018). Nous n’en parlerons donc plus dans le présent texte.

Généralement, vers 3 ou 4 ans, les enfants peuvent commencer à distinguer des ensembles pouvant compter plus de quatre éléments. Ils n’utilisent alors plus le subitising, mais comptent plutôt les éléments des ensembles (Siegler, 2010). Ils semblent alors comprendre le principe de cardinalité, c’est-à-dire que « le dernier nombre énoncé représente le total des éléments comptés » (Papalia, 2018). Par exemple, si un enfant compte les éléments dans un ensemble et arrive à sept, il comprend qu’il y a au total sept éléments dans cet ensemble. Les enfants indiquent d’ailleurs cette compréhension en plaçant l’accent tonique sur le dernier nombre (Siegler, 2010). Le comptage d’éléments est considéré comme fondamental pour les apprentissages ultérieurs, comme l’addition ou la soustraction (Siegler, 2010).

Il est à noter que même si vers 4 ans les enfants semblent avoir compris le principe de cardinalité, leur compréhension en est encore limitée. En fonction des méthodes pour les évaluer, ils montrent encore parfois des comportements indiquant que la notion de cardinalité n’est pas totalement comprise (Fayol, 2018). Par exemple, donner un nombre déterminé de jetons leur semble plus difficile à accomplir que seulement compter le même nombre de jetons dans un ensemble (Fayol, 2018).

L’ordinalité est un autre concept essentiel au développement des mathématiques. Il permet de comparer des quantités et de déterminer laquelle est la plus grande (Papalia, 2018). Les enfants arrivent à appliquer ce principe vers 4 ou 5 ans. À cet âge, cependant, la disposition des éléments à compter peut les induire en erreur. En effet, les enfants sont encore très influencés par l’aspect perceptif de la situation lorsqu’ils comparent des quantités et déterminent laquelle s’avère la plus grande (Boyd et Bee, 2017; Sophian, 2009). Par exemple, des jetons espacés peuvent sembler plus nombreux que la même quantité de jetons plus rapprochés. Ce phénomène avait déjà été rapporté par Piaget dans ses épreuves de conservation du nombre (Papalia, 2018). Pour plus de détails sur la notion de conservation selon Piaget, voir le texte suivant : http://developpement.ccdmd.qc.ca/fiche/conservation-selon-piaget.

Pour arriver à compter correctement les éléments d’un ensemble, les enfants doivent évidemment être capables de réciter la chaine numérique, c’est-à-dire les nombres dans un ordre stable.

Le modèle de Fuson (rapporté par Ste-Marie, 2015 et Deshaies, 2020) décrit comment les enfants comprennent cette chaine numérique ou suite de nombres et l’impact de cette compréhension sur les opérations mathématiques qu’ils peuvent effectuer.

D’après ce modèle, les enfants âgés de 2 à 4 ans récitent les suites de nombres sans comprendre que ce « chapelet » est constitué de plusieurs nombres différents. Les enfants considèrent une expression comme « undeuxtroisquatrecinq » comme une comptine (Ste-Marie, 2015). Aucun calcul n’est donc possible à partir de cette suite.

Dans une deuxième étape, entre 4 et 6 ans, les enfants comprennent que les suites de nombres sont constituées de nombres différents, chacun représenté par un mot différent. Cependant les enfants comptent toujours à partir du début de la séquence, soit un. On parle alors de liste ou chaine non sécable (Deshaies, 2020; Ste-Marie, 2015). À ce stade, les enfants peuvent dénombrer les éléments dans un ensemble en faisant correspondre à chaque élément un des nombres de la suite. Ils peuvent aussi trouver la somme de deux ensembles en regroupant leurs éléments respectifs pour former un nouvel ensemble et en dénombrant ensuite les éléments de cet ensemble total. Par exemple, le problème peut consister à réunir un ensemble de quatre pommes et un ensemble de trois pommes pour former un ensemble total de sept pommes. Les enfants font ensuite correspondre chaque élément de cet ensemble à un chiffre de la suite, en partant d’un. Le dernier élément compté correspond au nombre sept, ce qui détermine la cardinalité : le dernier nombre énoncé est sept, et il équivaut au nombre d’éléments de l’ensemble (Ste-Marie, 2015).

Par la suite, toujours entre 4 et 6 ans selon le modèle de Fuson, les enfants atteignent une troisième étape. Ils utilisent alors des chaines sécables de nombres. Ils peuvent à partir de ce moment poursuivre une chaine de nombres en y ajoutant des éléments. Par exemple, pour faire « 3 + 4 » les enfants commencent à compter d’un à quatre puis ajoutent trois éléments (« 5-6-7 ») pour arriver au total (Ste-Marie, 2015).

La quatrième étape, selon le modèle de Fuson, est l’utilisation par les enfants d’une chaine unitaire. À cette étape, qui se manifeste entre 6 et 8 ans, les enfants sont capables de compter à partir d’un nombre dans une suite, sans commencer par un (Ste-Marie, 2015). Par exemple, pour faire « 4 + 3 », ils peuvent partir de quatre et ajouter trois éléments (« 5-6-7 »). À cette étape, les nombres représentent pour les enfants des entités cardinales.

Enfin, la cinquième et dernière étape de la compréhension de la suite numérique selon le modèle de Fuson se manifeste elle aussi entre 6 et 8 ans et est appelée chaine bidirectionnelle (Ste-Marie, Giroux et Tourigny, 2014). À ce stade, les nombres peuvent être récités en ordre croissant ou décroissant, de façon fluide et à partir de n’importe quel nombre d’une suite (Ste-Marie, Giroux et Tourigny, 2014).

Les nombres sont alors compris dans leur relation de sériation et d’emboitement. Par exemple, le nombre quatre est plus grand que trois, mais plus petit que cinq. Ce nombre comprend les valeurs « 1 », « 2 » ou « 3 » et est compris dans le nombre cinq. Ceci permet de décomposer les nombres pour faciliter certaines additions, par exemple faire « 3 + 3 + 1 » pour résoudre « 4 + 3 » car les nombres doubles sont plus faciles à additionner (Ste-Marie, 2015; Ste-Marie, Giroux et Tourigny, 2014).

Les enfants de 5 ans sont généralement capables de réciter les nombres jusqu’à 20 (Papalia, 2018; Siegler, 2010). Les enfants arrivent habituellement à compter mentalement à partir de 6 ou 7 ans (Papalia, 2018). 

Opérations mathématiques simples

Dès l’âge de 3 ans, les enfants peuvent arriver à répondre à des questions comme « combien font deux billes plus trois billes » si on leur laisse la possibilité de manipuler des billes pour former un ensemble de cinq. Vers l’âge de 4 ou 5 ans, ils y arriveront en comptant à haute voix ou sur leurs doigts (Fayol, 2018), ce qui précèdera le comptage strictement mental ou le repêchage de la réponse en mémoire. Selon Fayol (2018), une des tâches des enfants est d’arriver à passer d’une conception analogique des nombres, laquelle implique souvent des manipulations (par exemple, plus il y a de jetons à compter, plus la quantité est grande), à une conception symbolique de ceux-ci, à l’aide de leur nom ou de leur représentation écrite en chiffres arabes. Ce passage se ferait progressivement, au cours des périodes préscolaire et primaire.

Malgré ce qui vient d’être dit, la manipulation et le matériel concret (des jetons, des billes, etc., qui peuvent être comptés, regroupés) sont considérés comme des facteurs essentiels pour favoriser l’apprentissage d’opérations mathématiques sur du matériel plus symbolique (Fayol, 2018; Gimbert, 2016).

À l’entrée au primaire, en première année, la majorité des enfants savent donc compter, comparer des quantités et réciter les nombres selon un ordre stable. Ils comprennent aussi qu’une addition représente une augmentation, alors qu’une soustraction représente une diminution (Boyd et Bee, 2017).

Une acquisition importante viendra se greffer progressivement aux habiletés déjà décrites plus haut. Il s’agit de la compréhension du système de numération positionnel. Dans ce système, la valeur d’un chiffre est déterminée par sa position dans un nombre. Par exemple, le chiffre « 1 » vaut une unité dans le nombre « 51 », alors qu’il vaut dix unités dans le nombre « 17 ». Dans le système de numération décimal, la base du système est dix : la valeur d’un chiffre est multipliée par dix lorsqu’il est déplacé vers la gauche (Patenaude et Mathieu, s.d.).

Ce système positionnel à base 10 permet d’effectuer facilement toutes sortes de calculs, même avec de très grands nombres, avec un coût cognitif minime. Aussi, la compréhension de cette structure positionnelle est l’un des fondements des apprentissages ultérieurs en arithmétique (Godbert, 2013; Voyer et al., 2018). Ce système permet d’additionner des nombres dont la valeur est supérieure à dix, et permet aussi aux enfants de développer des stratégies autres que le comptage pour additionner des nombres élevés (par exemple, pour faire « 58 + 14 », décomposer les nombres en dizaines et en unités, c.-à-d. « 50 + 10 +8 +4 ») (Godbert, 2013), comme nous le verrons plus loin.

La valeur positionnelle des chiffres est cependant assez difficile à comprendre pour les enfants (Fayol, 2018). Selon Houle et Giroux (2017), l’enseignement de ce système au primaire est un défi pour les enseignants et les enfants. Les auteurs mentionnent par exemple que seulement un peu plus de la moitié des élèves de troisième année du primaire réussissent à identifier le nombre de dizaines dans « 125 » (Houle et Giroux, 2017). Voyer et al. (2018) signalent également que les élèves rencontrent des difficultés dans l’acquisition de ce concept, ce qui peut avoir des conséquences importantes sur leurs apprentissages ultérieurs en mathématiques, comme nous l’avons vu plus tôt.

- Les additions

Les stratégies utilisées par les enfants pour faire des additions sont diversifiées. Une des plus simples consiste à « compter sur ses doigts ». Si cette stratégie peut sembler trop simple et à proscrire, elle présente en fait des avantages. En effet, cette méthode permet à l’enfant de créer, sans trop d’erreurs, un lien fort entre l’addition à faire (par exemple, « 3 + 4 ») et sa somme (en l’occurrence, sept). Cette association permettrait par la suite aux enfants de répondre plus efficacement « par cœur » (c’est-à-dire en récupérant l’information dans leur mémoire à long terme) lorsqu’on leur pose la même question (Siegler, 2010). De plus, l’expérience des enfants entraine un processus d’automatisation pour les additions effectuées fréquemment, ce qui libère de l’espace dans la mémoire de travail pour résoudre des problèmes plus complexes, par exemple des multiplications (Siegler, 2010). Or, la mémoire de travail est une fonction exécutive qui a un impact important sur la capacité à faire des opérations mathématiques (Fayol, 2018).

Comme on l’a vu dans la description du modèle de Fuson, parmi les autres stratégies utilisées par les enfants pour additionner, on retrouve la méthode « compter à partir de », c’est-à-dire simplement ajouter des éléments à un des deux nombres de l’addition, plutôt que de tout recompter à partir du début. Par exemple, pour résoudre « 6 + 2 », l’enfant se contentera de compter « 6, 7, 8 ». Cette capacité est présente à partir de l’âge de 6 ans environ (April, St-Jean et Bigras, 2017). Le même type de stratégie est utilisé pour les soustractions. Il faut cependant attendre deux ans de plus avant que les enfants appliquent le principe de « soustraire à partir de » (Papalia, 2018).

Une autre stratégie fréquente consiste à se baser sur une opération déjà bien maitrisée pour inférer la réponse à un nouveau problème. Par exemple, pour résoudre « 5 + 6 », l’enfant fera d’abord « 4 + 6 = 10 » (la dizaine constituant un point d’ancrage), puis ajoutera « 1 » au résultat pour obtenir le total de 11 (Siegler, 2010). De même, comme il est mentionné plus tôt, les enfants peuvent se baser sur l’addition de « doubles » (« 3 +3 », « 6 +6 », etc.), qui est plus rapidement maitrisée (Fayol, 2018). Par exemple, pour résoudre « 7 + 5 », l’enfant pourrait faire « 5 + 5 » puis ajouter « 2 » pour obtenir la somme de 12.

Vers 6 ou 7 ans, l’apprentissage des tables d’addition à l’école permet aussi de récupérer directement dans la mémoire à long terme des opérations déjà effectuées (Gimbert, 2016). Cependant, contrairement à ce qui se passe avec les multiplications, la stratégie qui consiste à aller chercher le résultat d’une somme directement dans la mémoire n’est pas utilisée si fréquemment, même chez les adultes (Gimbert, 2016; Siegler, 2010).

Enfin, vers 7 ou 8 ans, les enfants qui doivent résoudre des additions comprenant des nombres à deux chiffres (par exemple, « 18 + 22 ») font appel à diverses stratégies. Ils peuvent décomposer les nombres pour additionner les unités (« 8 + 2 ») d’une part et les dizaines d’autre part (« 10 + 20 ») avant d’additionner les deux sommes obtenues (« 10 + 30 = 40 »). Ils peuvent aussi choisir d’arrondir un des deux nombres en utilisant des unités de l’autre nombre avant de terminer l’addition (« 18 + 2 = 20 » et « 20 + 20 = 40 ») (Gimbert, 2016).

-  Les soustractions

La capacité à faire des soustractions se développe en partie comme celle à faire des additions. Les enfants commencent par utiliser des supports externes (doigts, jetons), puis intériorisent les procédures (Fayol. 2018). Cependant, les résultats des soustractions sont plus rarement mémorisés que ceux des additions, même chez les adultes. Par conséquent, les enfants sont plus susceptibles de répondre en utilisant une procédure (externe ou mentale) que « par cœur » (Fayol, 2018; Gimbert, 2016). Ils peuvent aussi, comme les adultes, utiliser une addition mémorisée pour répondre à une question de soustraction, par exemple, pour résoudre « 12 – 4 », se rappeler « 8 +4 = 12 » (Fayol, 2018).

Lorsqu’ils peuvent utiliser un support externe, les enfants arrivent à résoudre un problème comme « 5 – 3 » en retranchant des éléments d’un ensemble (enlever 3 jetons d’un ensemble). Ils sont aussi capables de faire une correspondance terme à terme entre deux ensembles pour répondre à la question « Combien y a-t-il de jetons de plus dans le paquet de gauche? » (Fayol, 2018; Gimbert, 2016). Dès l’âge de 4 ou 5 ans, les enfants arrivent à répondre en utilisant ces procédures (Gimbert, 2016).

En l’absence d’objets, les enfants recourent au comptage sur les doigts ou au comptage verbal pour répondre à une question comme « Combien font 9 - 3? ». Ils peuvent « surcompter », c’est-à-dire partir du plus petit nombre et aller jusqu’au nombre le plus grand (donc, énumérer « 4, 5, 6, 7, 8, 9 » et conclure qu’il y a une différence de six) ou compter à rebours (donc, « 8, 7, 6 ») (Gimbert, 2016). C’est à partir de l’âge de 9 ans que les enfants utilisent la méthode la plus économique (la deuxième méthode donnée en exemple) (Fayol, 2018).

- Les multiplications

Des stratégies similaires à celles des additions et soustractions s’observent aussi dans la résolution des multiplications au primaire, comme procéder à des additions multiples d’un des termes de la multiplication pour obtenir la réponse (Siegler, 2010). Par exemple, il pourrait s’agir de faire « 6 + 6 + 6 + 6 » pour résoudre « 4 x 6 » ou de dessiner des groupes de bâtons (quatre groupes de six) puis de les compter.

Enfin, comme pour les additions, les enfants peuvent se baser sur une multiplication déjà maitrisée et mémorisée pour inférer la réponse à un nouveau problème (Siegler, 2010). Dans l’exemple précédent, l’enfant pourrait faire « 3 x 6 » dans un premier temps s’il connait déjà cette réponse, puis « 18 + 6 » pour obtenir le résultat final, 24. On observe une augmentation de la stratégie de récupération dans la mémoire avec l’âge et la pratique (Siegler, 2010), laquelle peut s’expliquer par l’apprentissage des tables de multiplication au milieu du primaire (Fayol, 2018).

Enfin, il est à noter que la majorité des erreurs commises lors d’une multiplication consistent à donner un produit de la même table (Fayol, 2018), par exemple, répondre 24 ou 40 à la question « 4 x 8 », qui correspondent respectivement à « 3 x 8 » et « 5 x 8 ».

La résolution de problèmes complexes

Dans le présent texte, « résolution de problèmes complexes » s’entend des problèmes où l’enfant doit décider par lui-même des procédures à appliquer (par exemple, plusieurs additions suivies d’une soustraction), par contraste aux problèmes où on indique à l’enfant les procédures à appliquer (par exemple, faire toute une série d’additions). Typiquement, dans un problème complexe, il y a un texte de mise en contexte, suivi d’une question (par exemple, « Si un fermier a trois poules et que… combien cela lui rapporte-t-il? »).

Les enfants, surtout avant l’âge de 9 ans, réussissent mieux s’ils n’ont qu’à appliquer l’opération indiquée que s’ils doivent trouver par eux-mêmes l’opération ou la procédure qui s’applique (Papalia, 2018).

La résolution de problèmes complexes demande aux enfants un effort de planification, qui est une des fonctions exécutives. La planification implique, entre autres, d’inhiber la tendance à produire des réponses rapides, lesquelles risquent de donner de mauvais résultats (Siegler, 2010). Selon Taylor (2005), la planification n’est pas facile pour les enfants plus jeunes. Ils n’ont pas tendance à en faire beaucoup lorsqu’ils résolvent des problèmes, et optent plutôt pour une approche par essais et erreurs.

La métacognition peut être définie comme la conscience ou la compréhension de ses propres processus mentaux (Papalia, 2018). Waters et Schneider (2009) insistent sur l’importance de la métacognition dans la résolution de problèmes. Pour eux, la planification contribue à la métacognition, de même que la capacité à observer et à évaluer les stratégies et procédures adoptées (Waters et Schneider, 2009). Ils constatent qu’au primaire, les enfants qui sont capables d’expliquer pourquoi et quand utiliser des stratégies ou des procédures mathématiques ont de meilleurs résultats.

L’importance des fonctions exécutives en mathématiques

Les habiletés en mathématiques décrites précédemment impliquent plusieurs fonctions exécutives. Cragg et Gilmore (2014) insistent sur le rôle des fonctions exécutives dans l’apprentissage des mathématiques et dans la résolution de problèmes. Ils soulignent notamment que la mémoire de travail est sollicitée dans les calculs et la résolution de problèmes. Par exemple, la mémoire de travail permet de retenir des informations partielles pendant que d’autres manipulations d’information se produisent. Fayol (2018) indique d’ailleurs que, chez les enfants, la mémoire de travail est positivement corrélée avec les performances mathématiques.

Cragg et Gilmore (2014) indiquent aussi que la flexibilité permet de passer d’une procédure (ou stratégie) à l’autre en fonction de la difficulté, du contexte ou de la stratégie la mieux maitrisée. Elle permet aussi de passer d’un type d’opération (par exemple, l’addition) à un autre (par exemple, la soustraction) pour résoudre un problème complexe.

Enfin, comme il est indiqué dans la section précédente, la capacité de planification, elle-même tributaire de l’inhibition, est importante dans la résolution de problèmes.

Pour plus d’informations sur les fonctions exécutives, voir le texte théorique à l’adresse suivante : http://developpement.ccdmd.qc.ca/fiche/fonctions-executives.

Références

 

April, J., St-Jean, C. et Bigras, N. (2017). 1, 2, 3, 4… Combien as-tu de framboises pour ta collation? Revue préscolaire, 55 (2), 24-27. Repéré à https://www.aepq.ca/wp-content/uploads/2018/07/RP_v55n2.pdf.

Boyd, D. et Bee, H. (2017). L’enfance – Les âges de la vie. (5e éd.). Montréal, Québec : ERPI.

Cragg, L. et Gilmore, C. (2014). Skills underlying mathematics: The role of executive function in the development of mathematics proficiency. Trends in Neuroscience and Education, 3, 63-68.

Deshaies, I. (2020). L’apprentissage des mathématiques au préscolaire. Dans I. Deshaies et J-M Miron (dir.), Tisserands d’enfance - Le développement de l’enfant de 4 et 5 ans. Montréal, Québec : Les éditions JFD.

Fayol, M. (2018). L’acquisition du nombre. (3e éd.). Paris, France : Presses universitaires de France, collection « Que sais-je ».

Gimbert, F. (2016). L’appréhension des quantités par la vision ou le toucher : son développement et son rôle dans les apprentissages numériques chez l’enfant. (Thèse de doctorat, Université Grenoble Alpes, Grenoble, France). Repéré à https://www.unige.ch/fapse/sensori-moteur/files/8714/8659/5658/TheseFG.pdf

Godberg, M. (2013). Modifications et étalonnage d’un test évaluant la numération de position au cycle 3 (Mémoire en vue de l’obtention du Certificat de capacité d’orthophoniste, Université de Bordeaux, Bordeaux, France). Repéré à http://docnum.univ-lorraine.fr/public/BUMED_MORT_2013_GODBERT_MARLENE.pdf

Houle, V. et Giroux, J. (2017). Enseigner la numération de position autrement : le cas d’une situation expérimentée en classe spécialisée. Bulletin AMQ, 7(3). Repéré à https://www.amq.math.ca/wp-content/uploads/bulletin/vol57/no3/08-maitre-...

Papalia, D.E. et Martorell, G. (2018). Psychologie du développement de l’enfant (9e éd.). Montréal, Québec : Chenelière Éducation.

Patenaude, P. et Mathieu, P. (s.d.). Système de numération décimal. Scolab. https://lexique.netmath.ca/systeme-de-numeration-decimal/

Siegler, R. S. (2010). Enfant et raisonnement - Le développement cognitif de l’enfant (2e éd.). Bruxelles, Belgique : De Boeck Supérieur.

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Ste-Marie, A. (2015). L’importance des stratégies de calcul pour résoudre des tâches portant sur les égalités lacunaires et les suites à compléter au 1er cycle du primaire.Vivre le primaire, 28 (2), 42-43.

Ste-Marie, A., Giroux, J. et Tourigny, C. (2014). Situations d’enseignement sur la composition additive des nombres au préscolaire. Bulletin AMQ, 54 (3), 27-37. Repéré à https://archimede.mat.ulaval.ca/amq/bulletins/oct14/addition-prescolaire...

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Waters, H.S. et Schneider, W. (2009). Metacognition, Strategy Use, and Instruction. New York, NY : Guilford Press.

Auteur(s): 

Nathalie Fréchette et Paul Morissette

Ayant(s) droit: 

CCDMD

Date de parution ou dernière mise à jour: 

2021-02-18

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